Università Roma Tre

1. Preliminari
Definizione di iper-superficie. Integrazione su iper-superfici. Il teorema della divergenza.

2. Equazione di Laplace
Disuguaglianze di valor medio. Principio del minimo e del massimo. La disuguaglianza di Harnack. La rappresentazione tramite funzione di Green. L’integrale di Poisson. Teoremi di convergenza. Stime interne sulle derivate. Il problema di Dirichlet: il metodo delle funzioni sub-armoniche.

3. Il principio classico del massimo
Il principio debole del massimo. Il principio forte del massimo. Il lemma di Hopf.

4. L’equazione di Poisson e il potenziale Newtoniano
Hölder-continuità. Il problema di Dirichlet per l’equazione di Poisson. Stime hölderiane per le derivate seconde. Stime al bordo. Stime hölderiane per le derivate prime.

5. Richiami su spazi di Banach e di Hilbert
Il principio delle contrazioni. Il metodo di continuità.

6. Soluzioni classiche: l’approccio di Schauder
Stime interne di Schauder. Stime al bordo e globali. Il problema di Dirichlet. Regolarità interna e al bordo.

“Elliptic partial differential equations of second order. Reprint of the 1998 edition”, D. Gilbarg e N.S. Trudinger. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.