Elementi di Teoria dei Campi. Gruppi di Galois e Ampliamenti di Galois. La Corrispondenza di Galois. Alcune applicazioni della Corrispondenza di Galois: Costruzioni con riga e compasso, Risolubilità delle equazioni polinomiali.

[1]. S. GABELLI, TEORIA DELLE EQUAZIONI E TEORIA DI GALOIS, UNITEXT 38, SPRINGER ITALIA, 2008
[2] J. S. MILNE.FIELDS AND GALOIS THEORY. COURSE NOTES HTTP://WWW.JMILNE.ORG/MATH/ 2003

SPAZI MISURA E MISURE. L’INTEGRALE DI LEBESGUE E I TEOREMI DI CONVERGENZA. GLI SPAZI L^PIL TEOREMA DI RICOPRIMENTO DI BESICOVICH E LA DIFFERENZIAZIONE DELLE MISURE.

RUDIN, W.: ANALISI REALE E COMPLESSA, MILANO 1991
ROYDEN, REAL ANALYSIS, CHINA MACHINE PRESS, 2004.

TEORIA DEI RIVESTIMENTI. ESISTENZA DEL RIVESTIMENTO UNIVERSALE. OMOLOGIA SINGOLARE. INVARIANZA PER OMEOMORFISMO E PER OMOTOPIA. LA SUCCESSIONE DI MAYER-VIETORIS. APPLICAZIONI. ELEMENTI DI TOPOLOGIA DIFFERENZIALE. VARIETA' E APPLICAZIONI LISCE. CAMPI TANGENTI E CARATTERISTICA DI EULERO. ORIENTABILITA'.

E. SERNESI, GEOMETRIA 2, ZANICHELLI
J.M . LEE, INTRODUCTION TO TOPOLOGICAL MANIFOLDS, GRADUATE TEXTS IN MATHEMATICS N. 202, SPRINGER.
WILLIAM S. MASSEY ALGEBRAIC TOPOLOGY, AN INTRODUCTION SPRINGER GTM (1967)

GEOMETRIA EUCLIDEA E GEOMETRIE NON-EUCLIDEE. GEOMETRIE LOCALMENTE EUCLIDEE. ISOMETRIE DEL PIANO. GRUPPI DISCRETI DI ISOMETRIE DEL PIANO. GEOMETRIA IPERBOLICA

R. TRUDEAU: “LA RIVOLUZIONE NON EUCLIDEA”- BORINGHIERI ED.
NIKULIN, SHAFAREVICH: “GEOMETRY AND GROUPS”; SPRINGER ED.

Moduli e Algebre; Anelli e Moduli di Frazioni; Dipendenza Integrale; Anelli noetheriani e artiniani; Domini di valutazione discreta e domini di Dedekind.

1. M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.
2. I. Kaplanski, Commutative Rings, The University of Chicago Press, 1974.
3. R. Y. Sharp, Steps in Commutative Algebra, London Mathematical Society Student Texts, 51, Cambridge University Press, 2000.

1. Equazione di Laplace

Disuguaglianze di valor medio, principio del massimo e minimo, la disuguaglianza di Harnack, la rappresentazione di Green, l'integrale di Poisson, teoremi di convergenza, stime interne sulle derivate, il problema di Dirichlet e il metodo delle funzioni sub-armoniche

2. Il principio del massimo classico

Principio del massimo debole, principio del massimo forte, stime a-priori, proprietà di simmetria e il metodo dello spostamento degli iper-piani

3. L'equazione di Poisson e il potenziale Newtoniano

Continuità Hölderiana, il problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson, stime di Hölder per le derivate seconde, stime al bordo, stime di Hölder per le derivate prime

4. Soluzioni classiche: l'approccio di Schauder

Stime interne di Schauder, stime al bordo e globali, il problema di Dirichlet, regolarità interna e al bordo

"Elliptic Partial Differential Equations of Second Order", David Gilbarg e Neil S. Trudinger, Classics in Mathematics,volume 224, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, seconda edizione, 2001

"Elliptic Partial Differential Equations: Second Edition", Qing Han e Fanghua Lin, Courant Lecture Notes, volume 1, AMS American Mathematical Society, seconda edizione, 2011

"Partial Differential Equations: Second Edition", Lawrence C. Evans, Graduate Studies in Mathematics, volume 19, AMS American Mathematical Society, 2010

VARIETÀ ALGEBRICHE IN SPAZI AFFINI E PROIETTIVI, APPLICAZIONI RAZIONALI E REGOLARI.
GEOMETRIA LOCALE, NORMALIZZAZIONE. DIVISORI, SISTEMI LINEARI E MORFISMI DI VARIETÀ PROIETTIVE.

I. SHAFAREVICH BASIC ALGEBRAIC GEOMETRY VOL. 1 SPRINGER-VERLAG, NEW YORK-HEIDELBERG, 1977.
J. HARRIS ALGEBRAIC GEOMETRY (A FIRST COURSE) GRADUATE TEXTS IN MATH. NO. 133. SPRINGER-VERLAG, NEW YORK-HEIDELBERG, 1977.
R. HARTSHORNE ALGEBRAIC GEOMETRY GRADUATE TEXTS IN MATH. NO. 52. SPRINGER-VERLAG, NEW YORK-HEIDELBERG, 1977.

USO DI PROGRAMMI DIDATTICI NELL'INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA: I SOFTWARE CABRI, GEOGEBRA E MATHEMATICA.
COMANDI PER IL CALCOLO SIMBOLICO E NUMERICO, LA VISUALIZZAZIONE DI GRAFICI, CURVE E SUPERFICI E LA LORO ANIMAZIONE AL VARIARE DI PARAMETRI.
ESEMPI DI PROBLEMI: PROPRIETÀ DEI TRIANGOLI NELLA GEOMETRIA EUCLIDEA ED ESEMPI DI GEOMETRIE NON EUCLIDEE, APPROSSIMAZIONE DI PI GRECO E DI ALTRI NUMERI IRRAZIONALI, SOLUZIONI DI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI, SOLUZIONI DI SISTEMI, DETERMINAZIONE E VISUALIZZAZIONE DI PARTICOLARI LUOGHI GEOMETRICI, DERIVATA DI UNA FUNZIONE, CALCOLO APPROSSIMATO DI AREE.

DISPENSE DEL DOCENTE SU UN ELENCO DI PROBLEMI DA VISUALIZZARE E RISOLVERE (SIMULANDO UN LABORATORIO SCOLASTICO) CON L'AIUTO DEL SOFTWARE MATHEMATICA.
PER APPROFONDIMENTI SULLA VISUALIZZAZIONE CON MATHEMATICA DI CURVE E SUPERFICI:
RENZO CADDEO, ALFRED GRAY LEZIONI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE - CURVE E SUPERFICI VOL. 1,
ED. CUEC (COOPERATIVA UNIVERSITARIA EDITRICE CAGLIARITANA)

CLASSIFICAZIONE DELLE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI SEMILINEARI E LORO FORMA CANONICA. STUDIO DI PROBLEMI CONCRETI RELATIVI ALL'EQUAZIONE DELLE ONDE, DEL CALORE E DI LAPLACE.

A.N.TICHONOV; A.A.SAMARSKIJ: EQUAZIONI DELLA FISICA MATEMATICA EDIZIONI MIR. ZAEMANOGLOU THOE : INTRODUCTION TO PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH APPLICATIONS. DOVER

ELEMENTI DI TEORIA DELLA MISURA. SPAZI DI PROBABILITÀ ASTRATTI. LEMMI DI BOREL-CANTELLI. VARIABILI ALEATORIE CONTINUE: LEGGI CONGIUNTE E MARGINALI, INDIPENDENZA, LEGGI CONDIZIONALI. MEDIA E MEDIA CONDIZIONALE. MOMENTI, VARIANZA E COVARIANZA. DISUGUAGLIANZE. CONVERGENZA QUASI CERTA E IN PROBABILITÀ. LEGGI DEI GRANDI NUMERI. CONVERGENZA IN DISTRIBUZIONE. FUNZIONI CARATTERISTICHE E TEOREMA DI LÉVY. TEOREMA LIMITE CENTRALE. MARTINGALE. PROCESSI DI RAMIFICAZIONE

1] D.WILLIAMS, PROBABILITY WITH MARTINGALES. CAMBRIDGE MATHEMATICAL TEXTBOOKS, (1991).

MECCANICA LAGRANGIANA E SISTEMI VINCOLATI. VARIABILI CICLICHE. COSTANTI DEL MOTO E SIMMETRIE. SISTEMI DI OSCILLATORI LINEARI E PICCOLE OSCILLAZIONI. MECCANICA HAMILTONIANA. FLUSSI HAMILTONIANI. TEOREMA DI LIOUVILLE E DEL RITORNO. TRASFORMAZIONI CANONICHE. FUNZIONI GENERATRICI. METODO DI HAMILTON-JACOBI E VARIABILI AZIONE-ANGOLO. INTRODUZIONE ALLA TEORIA DELLE PERTURBAZIONI.

1] G. GENTILE,INTRODUZIONE AI SISTEMI DINAMICI. 1.EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE, ANALISI QUALITATIVA E ALCUNE APPLICAZIONI.
DISPONIBILE IN RETE:HTTP://WWW.MAT.UNIROMA3.IT/USERS/GENTILE/2011/TESTO/TESTO.HTML.
2] G. GENTILE,INTRODUZIONE AI SISTEMI DINAMICI. 2.FORMALISMO LAGRANGIANO E HAMILTONIANO.DISPONIBILE IN RETE:HTTP://WWW.MAT.UNIROMA3.IT/USERS/GENTILE/2011/TESTO/TESTO.HTML.
3] G. DELL'ANTONIO, ELEMENTI DI MECCANICA. LIGUORI EDITORE, (1996).
4] V.I. ARNOLD, METODI MATEMATICI DELLA MECCANICA CLASSICA. EDITORI RIUNITI, (1979).
5] G. GALLAVOTTI, MECCANICA ELEMENTARE. BOLLATI-BORINGHIERI, (1980).

-- TEORIA DELLA CARDINALITÀ. ALCUNI PARADOSSI CLASSICI. INSIEMI NUMERABILI. INSIEMI INFINITI NON NUMERABILI. TEOREMI DI CANTOR. TEOREMA DI CANTOR-BERNSTEIN.
-- ANELLI BOOLEANI. ALGEBRE DI BOOLE, CAMPI DI INSIEMI, SPAZI BOOLEANI E RETICOLI. TEOREMI DI RAPPRESENTAZIONE. APPLICAZIONI ALLA LOGICA SIMBOLICA ED AI CIRCUITI ELETTRICI
-- TEORIA DELLA DIVISIBILITÀ IN DOMINI (ANELLI COMMUTATIVI UNITARI, PRIVI DI DIVISORI DELLO ZERO). FATTORIZZAZIONI DI ELEMENTI, ESISTENZA DI MCD, MCM, DOMINI DI BÉZOUT. FATTORIZZAZIONI DI IDEALI. DOMINI DI NUMERI ALGEBRICI.
-- NUMERI DI FIBONACCI. PRINCIPALI PROPRIETÀ. IL RAPPORTO FN / FN-1, OSSIA TRA UN TERMINE E IL SUO PRECEDENTE NELLA SUCCESSIONE DEI NUMERI DI FIBONACCI, AL TENDERE DI N ALL'INFINITO TENDE AL NUMERO ALGEBRICO AUREO. RELAZIONI CON IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA ED I COEFFICIENTI BINOMIALI. RELAZIONI CON IL MASSIMO COMUN DIVISORE E LA DIVISIBILITÀ.
-- TERNE PITAGORICHE. TERNE PITAGORICHE PRIMITIVE E TEOREMA DI CLASSIFICAZIONE. PROPRIETÀ GEOMETRICHE ED ARITMETICHE.

-- STEVEN GIVANT - PAUL HALMOS, INTRODUCTION TO BOOLEAN ALGEBRAS. UNDERGRADUATE TEXTS IN MATHEMATICS.SPRINGER, NEW YORK, 2009. XIV+574.

-- PAUL R. HALMOS, LECTURES ON BOOLEAN ALGEBRAS. VAN NOSTRAND MATHEMATICAL STUDIES, NO. 1, D. VAN NOSTRAND CO., INC., PRINCETON, N.J. 1963 V+147 PP.

-- IRA J. PAPICK, ALGEBRA CONNECTIONS: MATHEMATICS FOR MIDDLE SCHOOL TEACHERS, PRENTICE HALL, 2005

-- HANS RADEMACHER, HIGHER MATHEMATICS FROM AN ELEMENTARY POINT OF VIEW. EDITED BY D. GOLDFELD. WITH NOTES BY G. CRANE. BIRKHÄUSER, BOSTON, MASS., 1983 II+138 PP.

-- DAVID SHARPE, RINGS AND FACTORIZATION. CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, CAMBRIDGE, 1987. X+111 PP.

-- J. ELDON WHITESITT, BOOLEAN ALGEBRA AND IST APPLICATIONS, DOVER PUBLICATIONS INC., NEW YORK, 1995 (PREVIOUSLY PUBLISHED BY ADDISON-WESLEY, READING MA, 1961)

Variabili casuali (cenni), Teoria della Stima, Test delle ipotesi (impostazione classica e bayesiana), Test basati sul rapporto di verosimiglianza, Campionamento statistico

Statistical Inference, Casella G., Berger R. L., Duxbury Advanced Series, Second Edition

MECCANICA QUANTISTICA: CRISI DELLA FISICA CLASSICA. ONDE E PARTICELLE. VETTORI DI STATO ED OPERATORI. MISURE ED OSSERVABILI. OPERATORE DI POSIZIONE. TRASLAZIONI E IMPULSO. EVOLUZIONE TEMPORALE ED EQUAZIONE DI SCHRODINGER. PARITA'. PROBLEMI UNIDIMENSIONALI. OSCILLATORE ARMONICO. SIMMETRIE E LEGGI DI CONSERVAZIONE. TEORIA DELLE PERTURBAZIONI INDIPENDENTI DAL TEMPO. TEORIA DELLE PERTURBAZIONI DIPENDENTI DAL TEMPO.

J.J. SAKURAI, JIM NAPOLITANO - MECCANICA QUANTISTICA MODERNA - SECONDA EDIZIONE [ZANICHELLI, BOLOGNA, 2014]

Moduli e Algebre; Anelli e Moduli di Frazioni; Dipendenza Integrale; Anelli noetheriani e artiniani; Domini di valutazione discreta e domini di Dedekind.

1. M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.
2. I. Kaplanski, Commutative Rings, The University of Chicago Press, 1974.
3. R. Y. Sharp, Steps in Commutative Algebra, London Mathematical Society Student Texts, 51, Cambridge University Press, 2000.

1. Equazione di Laplace

Disuguaglianze di valor medio, principio del massimo e minimo, la disuguaglianza di Harnack, la rappresentazione di Green, l'integrale di Poisson, teoremi di convergenza, stime interne sulle derivate, il problema di Dirichlet e il metodo delle funzioni sub-armoniche

2. Il principio del massimo classico

Principio del massimo debole, principio del massimo forte, stime a-priori, proprietà di simmetria e il metodo dello spostamento degli iper-piani

3. L'equazione di Poisson e il potenziale Newtoniano

Continuità Hölderiana, il problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson, stime di Hölder per le derivate seconde, stime al bordo, stime di Hölder per le derivate prime

4. Soluzioni classiche: l'approccio di Schauder

Stime interne di Schauder, stime al bordo e globali, il problema di Dirichlet, regolarità interna e al bordo

"Elliptic Partial Differential Equations of Second Order", David Gilbarg e Neil S. Trudinger, Classics in Mathematics,volume 224, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, seconda edizione, 2001

"Elliptic Partial Differential Equations: Second Edition", Qing Han e Fanghua Lin, Courant Lecture Notes, volume 1, AMS American Mathematical Society, seconda edizione, 2011

"Partial Differential Equations: Second Edition", Lawrence C. Evans, Graduate Studies in Mathematics, volume 19, AMS American Mathematical Society, 2010

METODI DIRETTI PER SISTEMI LINEARI: IL METODO DI GAUSS, LE FATTORIZZAZIONI LU, DI CHOLESKY E QR. METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI. METODI ITERATIVI PER EQUAZIONI SCALARI: METODI DI BISEZIONE, DI SOSTITUZIONI SUCCESSIVE, DI NEWTON E DERIVATI. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI: INTERPOLAZIONE POLINOMIALE DI LAGRANGE E NEWTON, SEMPLICE E COMPOSITA. POLINOMIO DI HERMITE. APPROSSIMAZIONE DI ERRORE QUADRATICO MINIMO. TEORIA GENERALE DELLE FORMULE DI QUADRATURA INTERPOLATORIE. QUADRATURE DI NEWTON-COTES SEMPLICI E COMPOSITE. QUADRATURE GAUSSIANE.

[1] ALFIO QUARTERONI, RICCARDO SACCO, FAUSTO SALERI, MATEMATICA NUMERICA, SPRINGER, 1998;
[2] VALERIANO COMINCIOLI, ANALISI NUMERICA: METODI, MODELLI, APPLICAZIONI, APOGEO, 2005;
[3] ROBERTO FERRETTI, APPUNTI DEL CORSO DI ANALISI NUMERICA;
[5] ROBERTO FERRETTI, ESERCIZI D'ESAME DI ANALISI NUMERICA.

Teoria classica delle varietà algebriche in spazi affini e proiettivi su campi algebricamente chiusi. Geometria locale, normalizzazione. Divisori, sistemi lineari e morfismi di varietà proiettive.

I. SHAFAREVICH BASIC ALGEBRAIC GEOMETRY VOL. 1 SPRINGER-VERLAG, NEW YORK-HEIDELBERG, 1977.
J. HARRIS ALGEBRAIC GEOMETRY (A FIRST COURSE) GRADUATE TEXTS IN MATH. NO. 133. SPRINGER-VERLAG, NEW YORK-HEIDELBERG, 1977.
R. HARTSHORNE ALGEBRAIC GEOMETRY GRADUATE TEXTS IN MATH. NO. 52. SPRINGER-VERLAG, NEW YORK-HEIDELBERG, 1977.

• DIMOSTRABILITÀ E SODDISFACIBILITÀ, TRASFORMAZIONE DELLE DIMOSTRAZIONI.
• TEOREMA DI COMPATTEZZA DELLA LOGICA DEL PRIMO ORDINE.
• TEOREMA DI COMPLETEZZA DELLA LOGICA DEL PRIMO ORDINE.
• TEOREMA DI ELIMINAZIONE DEL TAGLIO PER LA LOGICA DEL PRIMO ORDINE.

V. Michele Abrusci, Lorenzo Tortora de Falco: LOGICA Volume 1 Dimostrazioni e modelli al primo ordine. Springer, 2014

• DIMOSTRABILITÀ E SODDISFACIBILITÀ, TRASFORMAZIONE DELLE DIMOSTRAZIONI.
• TEOREMA DI COMPATTEZZA DELLA LOGICA DEL PRIMO ORDINE.
• TEOREMA DI COMPLETEZZA DELLA LOGICA DEL PRIMO ORDINE.
• TEOREMA DI ELIMINAZIONE DEL TAGLIO PER LA LOGICA DEL PRIMO ORDINE.

V. Michele Abrusci, Lorenzo Tortora de Falco: LOGICA Volume 1 Dimostrazioni e modelli al primo ordine. Springer, 2014

PROBABILITÀ, ENTROPIA, INFERENZA. COMPRESSIONE DATI: TEOREMA DI CODIFICA DELLA SORGENTE, CODICI SIMBOLICI, CODICI A FLUSSO.

TEORIA DELL'INFORMAZIONE. CODIFICHE DI CANALI CON RUMORE: VARIABILI ALEATORIE DIPENDENTI, COMUNICAZIONE SU UN CANALE CON RUMORE,
SEGRETEZZA PERFETTA. CODICI A CORREZIONE D'ERRORE. CODICI LINEARI, CODICI HAMMING, CODICI DI GOLAY, CODICI CICLICI, CODICI BCH, CODICI REED-SOLOMON. CIFRARIO DI MCELIECE.

[1] MacKay, D.J.C., Information Theory, Inference and Learning Algorithms, CUP (2004).
[2] Blahut, R., Principles and Practice of Information Theory, Addison-Wesley (1985).
[3] Cover, T.M. and Thomas, J.A., Elements of Information Theory, Wiley (1991).
[4] W. Trappe, l.C. Washington, Introduction to Cryptography with Coding Theory, 2nd edition, Prentice-Hall (2005).

1. notazioni della teoria analitica dei numeri. La costante di Eulero, Il problema di Dirichlet per il numero medio di divisori di un intero, il metodo dell’iperbole. Teoremi di Chebichev. Teorema di Mertens.

2. Teorema di Dirichlet per primi in progressione aritmetica. La funzione ζ(s) reale, Il Teorema di Dirichlet per primi in progressione aritmetica, L-serie di Dirichlet L(s,χ), produttorie. Somme di Gauss, formula della somma di Poisson, applicazione alle somme di Gauss. Caratteri di Dirichlet, determinazione dei Caratteri esplicita, leggi di ortogonalità dei caratteri, il Teorema di Dirichlet nel caso generale. Estensione analitica a s 0 della funzione ζ(s) e delle L-serie di Dirichlet. Dimostrazione di de la Valle Poussin che la L-serie non si annullano in s= 1 (L(1,χ) 0). Teorema di Mertens per primi in progressione aritmetica.

3. La funzione ζ di Riemann. L’articolo di Riemann e l’estensione analitica di ζ(s). Programma di Riemann per la dimostrazione del Teorema dei numeri primi. Dimostrazione di Riemann dell’equazione funzionale per ζ(s), zeri banali per ζ(s). Prodotti di Hadamard. Funzioni intere di ordine finito. Teorema di Hadamard per funzioni intere di ordine uno. Distribuzione degli zeri di funzioni intere di ordine uno. L’ordinata dello zero non banale pi piccolo di ζ è in valore assoluto maggiore di 6,5. Derivate logaritmiche della funzione ξ(s). La serie dei reciproci degli zeri nella striscia critica. La funzione zeta non ha zeri sulla retta Re(s) = 1. La funzione Gamma. Regione priva di zeri per ζ (Teorema di Hadamard - de La Valle Poussin 1896). La formula di von Mangoldt per N(T).

4. Distribuzione dei primi. La formula esplicita per la funzione ψ(x), l’integrale discontinuo di Perron. Il Teorema dei numeri primi. Conseguenze dell’ipotesi di Riemann.

Harold Davenport. Multiplicative Number Theory. (Graduate Texts in Mathematics) Springer.
Gerald Tenenbaum. Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) CUP.
Tom M. Apostol. Introduction to Analytic Number Theory. (Undergraduate Texts in Mathematics) Springer.
Henryk Iwaniec, Emmanuel Kowalski. Analytic Number Theory (Colloquium Publications, Vol. 53) (Colloquium Publications (Amer Mathematical Soc)).
Paul T. Bateman, Harold G. Diamond. Analytic Number Theory: An Introductory Course

SPAZI MISURA E MISURE. L’INTEGRALE DI LEBESGUE E I TEOREMI DI CONVERGENZA. GLI SPAZI L^PIL TEOREMA DI RICOPRIMENTO DI BESICOVICH E LA DIFFERENZIAZIONE DELLE MISURE.

RUDIN, W.: ANALISI REALE E COMPLESSA, MILANO 1991
ROYDEN, REAL ANALYSIS, CHINA MACHINE PRESS, 2004.

CLASSIFICAZIONE DELLE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI SEMILINEARI E LORO FORMA CANONICA. STUDIO DI PROBLEMI CONCRETI RELATIVI ALL'EQUAZIONE DELLE ONDE, DEL CALORE E DI LAPLACE.

A.N.TICHONOV; A.A.SAMARSKIJ: EQUAZIONI DELLA FISICA MATEMATICA EDIZIONI MIR. ZAEMANOGLOU THOE : INTRODUCTION TO PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH APPLICATIONS. DOVER

SARANNO SVILUPPATI E ANALIZZATI MODELLI MATEMATICI DI PROBLEMI APPLICATIVI, ANCHE DI INTERESSE INDUSTRIALE, BASATI SOPRATTUTTO SU EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE O ALLE DERIVATE PARZIALI.
IL CORSO HA UNA COMPONENTE MODELLISTICA ED UNA NUMERICA. E SARÀ ORGANIZZATO, ALMENO IN PARTE, "PER PROBLEMI" PIUTTOSTO CHE "PER METODI", OSSIA PARTENDO DA UN CERTO NUMERO DI PROBLEMI APPLICATIVI E CERCANDONE LA SOLUZIONE, INTRODUCENDO VIA VIA GLI STRUMENTI NECESSARI, QUALI I METODI NUMERICI PIÙ OPPORTUNI.
SARANNO INVITATI A TENERE CONFERENZE SU ARGOMENTI SPECIFICI DEI MATEMATICI APPLICATI OPERANTI IN ALTRE SEDI UNIVERSITARIE O IN LABORATORI DI RICERCA , ATTIVI NEL CAMPO DELLA MATEMATICA APPLICATA E/O INDUSTRIALE.

1] R. KNOBEL, ''AN INTRODUCTION TO THE MATHEMATICAL THEORY OF WAVES'', AMER. MATH. SOC., PROVIDENCE, 2000.

2] K.W. MORTON AND D.F. MAYERS, ''NUMERICAL SOLUTION OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS'', CAMBRIDGE UNIV. PRESS, CAMBRIDGE, 2005.

3] APPUNTI E MATERIALE DALLE LEZIONI.

COMPLESSITÀ, COMPUTABILITÀ, RAPPRESENTABILITÀ: PROBLEMI DI DECISIONE, AUTOMI FINITI E ALGORITMI. TURING-CALCOLABILITÀ. COMPLESSITÀ SPAZIALE E TEMPORALE DEGLI ALGORITMI. MACCHINE RAM. FUNZIONI DI COMPLESSITÀ. FUNZIONI RICORSIVE. IL PROBLEMA DELL'ARRESTO PER LE MACCHINE DI TURING. PROGRAMMAZIONE FUNZIONALE: LAMBDA CALCOLO. TEOREMA DI CHURCH-ROSSER. STRATEGIE DI NORMALIZZAZIONE. RISOLUBILITÀ. TEOREMA DI BÖHM. TEOREMA DI LAMBDA-DEFINIBILITÀ PER LE FUNZIONI RICORSIVE. MODELLI BETA-FUNZIONALI DEL LAMBDA-CALCOLO. PROGRAMMAZIONE OBJECT-ORIENTED: DICHIARAZIONI DI CLASSI FUNZIONALI. EREDITARIETÀ TRA CLASSI. DICHIARAZIONE DI CLASSI VIRTUALI. DEFINIZIONE DI METODI PRIVATI. LATE-BINDING DI METODI.

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITE' ET DECIDABILITE'. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).
[4] GABBRIELLI, M., MARTINI, S., LINGUAGGI DI PROGRAMMAZIONE: PRINCIPI E PARADIGMI. MCGRAW-HILL, (2011).

TESTI DI APPROFONDIMENTO:

[4] AHO, HOPCROFT, ULLMAN, DESIGN AND ANALYSIS OF COMPUTER ALGORITHMS. ADDISON-WESLEY PUB. CO., (1974).
[5] AUSIELLO, G., GAMBOSI, G., D'AMORE F., LINGUAGGI, MODELLI, COMPLESSITA'. FRANCO ANGELI (2003).
[6] A. BERNASCONI, B. CODENOTTI, INTRODUZIONE ALLA COMPLESSITA' COMPUTAZIONALE. SPRINGER-VERLAG, (1998).
[7] SETHI, R., PROGRAMMING LANGUAGES: CONCEPTS AND CONSTRUCTS. ADDISON-WESLEY (ED. ITALIANA ZANICHELLI), (1996).
[8] HERMES, H., ENUMERABILITY, DECIDABILITY, COMPUTABILITY. DIE GRUNDLEHREN DER MATHEMATICHENWISSENSHAFTEN IN EINZELDARSTELLUNGEN, N. 127, SPRINGER-VERLAG, (1969).
[9] DARNELL, P. A. AND MARGOLIS, P. E., C A SOFTWARE ENGINEREEING APPROACH. SPRINGER-VERLAG, (1996).

Divisione, fattorizzazione, alcune proprietà elementari dei numeri primi, alcuni risultati e problemi riguardanti i primi.
Funzioni aritmetiche: La funzione numero di divisori. La funzione di Moebius. La funzione di Eulero. La convoluzione Dirichlet.
Congruenze: Sistemi Completi di residui, alcuni Congruenze interessanti, alcune congruenze lineari, congruenze polinomiali, radici primitive, il teorema di Gauss.
RESIDUI Quadratici: i simboli di Legendre. Reciprocità quadratica. I simboli di Jacobi.La distribuzione dei residui quadratici.
Somme di quadrati di interi: somme di due quadrati. Numero di rappresentazioni. Somme di quattro quadrati. Somme di tre quadrati.
TEORIA ELEMENTARE DEI NUMERI PRIMI: il teorema di Euclide rivisitato. La funzione Von Mangoldt. Teorema di Tchebycheff. Alcuni risultati di Mertens

Chen, W; ELEMENTARY NUMBER THEORY. https://rutherglen.science.mq.edu.au/wchen/lnentfolder/lnent.html
Chowdhury, F.; Chowdhury, M. R. Essentials of Number Theory. Pi Publications, Dhaka, Bangladesh, 2005. ISBN 984-32-2836-7
Hardy, G. H.; Wright, E. M. An introduction to the theory of numbers. Fifth edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979. xvi+426 pp. ISBN: 0-19-853170-2; 0-19-853171-0
Davenport, H. Aritmetica superiore. Un'introduzione alla teoria dei numeri. Editore: Zanichelli, 1994. 199 pp. ISBN: 8808091546
Gioia, A. A. The theory of numbers. An introduction. Reprint of the 1970 original. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2001. xii+207 pp. ISBN: 0-486-41449-3
Rosen, K. H. Elementary number theory and its applications. Fourth edition. Addison-Wesley, Reading, MA, 2000. xviii+638 pp. ISBN: 0-201-87073-8
Tattersall, J. J. Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, Cambridge, 1999. viii+407 pp. ISBN: 0-521-58531-7

Il concetto di operazione bit tipo somma o sottrazione. Stima del
numero di operazioni bit (tempo macchina) per eseguire le
operazioni fondamentali. Algoritmi che convergono in tempo
esponenziale o polinomiale. Divisibilità. Algoritmo di Euclide,
identità di Bezout e suo tempo di esecuzione. Congruenze.
Teorema cinese dei resti. L'algoritmo dei quadrati successivi.

RSA
L'algoritmo di Adleman, Shamir e Rivest. Formulazione dell'algoritmo
e sua analisi. Attacchi al crittosistema RSA (esponenti di
cifratura e decifratura troppo piccoli, attacco ciclico, attacco del
punto fisso, modulo comune). Richiami sulle congruenze quadratiche e
i simboli di Legendre e Jacobi. Algoritmo polinomiale per il calcolo
del simbolo di Jacobi. Crittosistema di Rabin: descrizione,
sicurezza ed esempi. Distribuzione di Numeri primi. Test di
primalità basati sulla condizione di Fermat. Test di Pocklington.
Pseudo-primalità di Eulero e pseudo-primalità forte. Numeri di
Carmichael: caratterizzazione e prime proprietà. Algoritmi
Montecarlo. Test di Solovay-Strassen. Numeri pseudo--primi forti.
Test di Miller-Rabin. Fattorizzazione di un intero: metodo $\rho$ di
Pollard, metodo p-1 di Pollard, fattorizzazione alla Fermat.

CAMPI FINITI
Fondamenti di teoria dei campi. Costruzione di un campo finito e
sua unicità. Esempi. Polinomi irriducibili e primitivi.
Enumerazione dei polinomi irriducibili e primitivi. Aritmetica in
tempo polinomiale sui campi finiti. Test deterministici di
irriducibilità dei polinomi nei campi finiti. Algoritmo di
Berlekamp per la fattorizzazione di polinomi in un campo finito.

LOGARITMI DISCRETI
Il problema del logaritmo discreto in un gruppo ciclico astratto.
Problema di Diffie Hellman. Scambio di chiavi di Diffie Hellman
sui campi finiti. Crittosistemi di El Gamal e Massey Omura sui
campi finiti. Algoritmi per il calcolo dei logaritmi discreti nei
campi finiti: l' Algoritmo di Shanks, l'Algoritmo di Pohlig -
Hellman ed il Metodo del Calcolo dell'Indice. Schemi di firma
digitale: El-Gamal. Esempi.

A. Languasco - A. Zaccagnini, Introduzione alla crittografia, Hoepli.

W.M. Baldoni -C. Ciliberto - G.M. Piacentini, Aritmetica, crittografia e codici, Springer Verlag.

N. Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography, GTM-Springer.

HANDBOOK OF APPLIED CRYPTOGRAPHY (Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot and Scott A. Vanstone)

TEORIA DEI FASCI ALGEBRICI. TEORIA DEGLI SCHEMI ALGEBRICI. COOMOLOGIA DI CECH. TEORIA DEI MODULI. APPLICAZIONI.

R. HARTSHORNE ALGEBRAIC GEOMETRY GRADUATE TEXTS IN MATH. NO. 52. SPRINGER-VERLAG, NEW YORK-HEIDELBERG, 1977.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE E SISTEMI: METODI AD UN PASSO E A PIU'' PASSI PER IL PROBLEMA DI CAUCHY, IN PARTICOLARE METODI DI RUNGE-KUTTA, METODI DI ADAMS, METODI BDF. APPLICAZIONI.
TEORIA GENERALE DEI METODI PER EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI. PRINCIPALI METODI ALLE DIFFERENZE E VARIAZIONALI PER EQUAZIONI ELLITTICHE, PARABOLICHE ED IPERBOLICHE LINEARI.

[1] ALFIO QUARTERONI, RICCARDO SACCO, FAUSTO SALERI, MATEMATICA NUMERICA, SPRINGER, 1998;
[2] VALERIANO COMINCIOLI, ANALISI NUMERICA: METODI, MODELLI, APPLICAZIONI, APOGEO, 2005;
[3] ROBERTO FERRETTI, APPUNTI DEL CORSO DI ANALISI NUMERICA;
[5] ROBERTO FERRETTI, ESERCIZI D'ESAME DI ANALISI NUMERICA.

Introduzione alla topologia algebrica. I simplessi e le loro proprieta'. Il complesso delle catene singolari associate ad uno spazio topologico. I gruppi di omologia singolare. Proprieta' elementari: i gruppi di omologia rispettano la decomposizione di uno spazio in componenti connesse per archi; calcolo del gruppo di omologia H_0. L'omologia di un punto. Omologia ridotta: definizione e confronto con l'omologia usuale. Categorie e funtori: definizioni ed esempi. L'omologia come functore dagli spazi topologichi ai gruppi abeliani, passando per la categoria dei complessi. Invarianza omotopica dell'omologia: funzioni continue omotope inducono mappe di complessi omotope; mappe di complessi omotope inducono la stessa mappa in omologia. Il complesso delle catene di una coppia e l'omologia di una coppia: proprieta' funtoriali e invarianza omotopica. La successione esatta lunga in coomologia associata ad una tripla (o ad una coppia). Corollario: l'omologia ridotta come omologia relativa ad un punto.
Il Teorema di escissione. L'omologia relativa ad un ricoprimento.
Coppie buone. Esempi e controesempi. L'omologia di una coppia buona e' isomorfa all'omologia ridotta del quoziente.
Successione di Mayer-Vietoris. Calcolo dell'omologia della sfera e di un disco relativo al bordo, con generatori espliciti. Applicazioni: il teorema del punto fisso di Brower, il teorema dell'invarianza della dimensione (tramite l'omologia locale di R^n).
Grado di applicazioni dalla sfera n-dimensionale in se'. Proprieta' elementari: moltiplicativita' e invarianza omotopica. Esempi: riflessioni, mappa antipodale, mappe senza punti fissi. Applicazione: la pettinabilita' della sfera n-dimensionale. Formula locale per il grado. Il caso di dimensione 1: la mappa grado definisce un isomorfismo tra il gruppo fondamentale della sfera 1-dimensionale e il gruppo degli interi.
La sospensione di spazi topologici. Il grado della sospensione di una mappa da S^n a S^n e' ugale al grado della mappa originaria. Naturalita' delle successioni esatte lunghe. Delta-complessi. Esempi in dimensione uno e due. Equivalenza tra Delta-complessi e Delta-insiemi.
Complessi simpliciali e loro equivalenza con i complessi simpliciali astratti. L'omologia simpliciale di un Delta-complesso. Esempi. L'isomorfismo tra l'omologia simpliciale e l'omologia singolare.
Complessi cellulari (o CW): definizione induttiva. Esempi. I Delta-complessi come complessi cellulari. Ogni complesso cellulare e' omotopo ad un Delta-complesso.
Proprieta' topologiche dei complessi cellulari: normalita', locale contraibilita', paracompattezza (senza dimostrazione), compattezza e locale compattezza. Le coppie cellulari sono coppie buone. Strutture cellulari e simpliciali su varieta' topologiche e differenziabili: una panoramica dei risultati. Esempi di complessi cellulari: la sfera, lo spazio proiettivo reale.
Lemma di compattezza per complessi cellulari. La caratterizzazione dei complessi cellulari tramite le mappe caratteristiche. Non esempi di complessi cellulari che violano la proprieta' della topologia debole o quella della finitezza della chiusura. Esempi di complessi cellulari: lo spazio proiettivo complesso, le superfici topologiche compatte orientate e non orientate.
Somma wedge di spazi topologici puntati e loro gruppi di omologia. Il complesso delle catene cellulari di un complesso cellulare e l'omologia cellulare. L'omologia cellulare coincide con l'omologia singolare. La formula per il differenziale cellulare. Esercizi: omologia cellulare di sfere, spazi proiettivi reali e complessi, superfici topologiche compatte orientate e non, i tori n-dimensionali.
Omologia con coefficienti. Digressione sull'algebra omologica dei gruppi abeliani: prodotto tensoriale e bifuntori Tor.
Il teorema dei coefficienti universali per l'omologia. Spazi di Moore. Lo spezzamento della successione esatta nel teorema dei coefficienti universali non e' naturale: un controesempio.
Una coppia cellulare soddisfa la proprieta' dell'estensione omotopica. Se una coppia soddisfa la proprieta' dell'estensione omotopica e il sottospazio e' contraibile, allora il quoziente per il sottospazio e' un'equivalenza omotopica. Il primo gruppo di omologia e' l'abelianizzato del gruppo fondamentale (inizio della dimostrazione).
Il primo gruppo di omologia e' l'abelianizzato del gruppo fondamentale (fine della dimostrazione). La caratteristica di Eulero. Formula della caratteristica di Eulero per un complesso cellulare finito. Esercizi.
Coomologia con coefficienti. Digressione sull'algebra omologica dei gruppi abeliani: il bifuntore Hom e il bifuntore Ext. Il teorema dei coefficienti universali per la coomologia.
Proprieta' della Coomologia: funtorialita', invarianza omotopica, successione esatta lunga di una tripla e relazione tra i morfismi di connessione in omologia e coomologia, coomologia ridotta, escissione, coomologia di una coppia buona, successione di Mayer-Vietoris.
Il prodotto cup e l'anello di coomologia.
+La coomologia simpliciale di un Delta-complesso. La coomologia cellulare di un complesso cellulare. Esempio: l'anello di coomologia delle superfici topologiche compatte orientate e non.
L'approccio assiomatico alla (co)omologia assoluta di una coppia e relativa (senza dimostrazione). Il prodotto cross in omologia e coomologia singolare e cellulare. Relazione tra il prodotto cup e il prodotto cross in coomologia. La formula di Kunneth in omologia e coomologia (senza dimostrazione). Esempio: l'anello di coomologia di un toro n-dimensionale e' l'algebra esterna di dimensione n.
Varieta' (topologiche). Orientabilita' di varieta'. Il rivestimento doppio delle orientazioni locali. R-orientabilita'. Il rivestimento delle R-classi locali. L'omologia n-esima di una n-varieta' compatta e connessa, R-orientabile e non. La R-classe fondamentale di una varieta' compatta R-orientabile.
Il prodotto cap e la sua relazione col prodotto cup. La formulazione della dualita' di Poincare' per varieta' compatte R-orientate: versione I (col prodotto cap) e versione II (col prodotto cup).
Coomologia a supporto compatto. Digressione sui limiti diretti di gruppi. L'operatore di dualita' per varieta' topologiche R-orientate non compatte. Il teorema di dualita' di Poincare' per varieta' topologiche R-orientate compatte e non: dimostrazione. Esempio: l'anello di coomologia degli spazi proeittivi reali, complessi e quaternionici.

A. Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2002.

Elementi di Teoria dei Campi. Gruppi di Galois e Ampliamenti di Galois. La Corrispondenza di Galois. Alcune applicazioni della Corrispondenza di Galois: Costruzioni con riga e compasso, Risolubilità delle equazioni polinomiali.

[1]. S. GABELLI, TEORIA DELLE EQUAZIONI E TEORIA DI GALOIS, UNITEXT 38, SPRINGER ITALIA, 2008
[2] J. S. MILNE.FIELDS AND GALOIS THEORY. COURSE NOTES HTTP://WWW.JMILNE.ORG/MATH/ 2003

TEORIA DEI RIVESTIMENTI. ESISTENZA DEL RIVESTIMENTO UNIVERSALE. OMOLOGIA SINGOLARE. INVARIANZA PER OMEOMORFISMO E PER OMOTOPIA. LA SUCCESSIONE DI MAYER-VIETORIS. APPLICAZIONI. ELEMENTI DI TOPOLOGIA DIFFERENZIALE. VARIETA' E APPLICAZIONI LISCE. CAMPI TANGENTI E CARATTERISTICA DI EULERO. ORIENTABILITA'.

E. SERNESI, GEOMETRIA 2, ZANICHELLI
J.M . LEE, INTRODUCTION TO TOPOLOGICAL MANIFOLDS, GRADUATE TEXTS IN MATHEMATICS N. 202, SPRINGER.
WILLIAM S. MASSEY ALGEBRAIC TOPOLOGY, AN INTRODUCTION SPRINGER GTM (1967)

GEOMETRIA EUCLIDEA E GEOMETRIE NON-EUCLIDEE. GEOMETRIE LOCALMENTE EUCLIDEE. ISOMETRIE DEL PIANO. GRUPPI DISCRETI DI ISOMETRIE DEL PIANO. GEOMETRIA IPERBOLICA

R. TRUDEAU: “LA RIVOLUZIONE NON EUCLIDEA”- BORINGHIERI ED.
NIKULIN, SHAFAREVICH: “GEOMETRY AND GROUPS”; SPRINGER ED.

Moduli e Algebre; Anelli e Moduli di Frazioni; Dipendenza Integrale; Anelli noetheriani e artiniani; Domini di valutazione discreta e domini di Dedekind.

1. M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.
2. I. Kaplanski, Commutative Rings, The University of Chicago Press, 1974.
3. R. Y. Sharp, Steps in Commutative Algebra, London Mathematical Society Student Texts, 51, Cambridge University Press, 2000.

1. Equazione di Laplace

Disuguaglianze di valor medio, principio del massimo e minimo, la disuguaglianza di Harnack, la rappresentazione di Green, l'integrale di Poisson, teoremi di convergenza, stime interne sulle derivate, il problema di Dirichlet e il metodo delle funzioni sub-armoniche

2. Il principio del massimo classico

Principio del massimo debole, principio del massimo forte, stime a-priori, proprietà di simmetria e il metodo dello spostamento degli iper-piani

3. L'equazione di Poisson e il potenziale Newtoniano

Continuità Hölderiana, il problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson, stime di Hölder per le derivate seconde, stime al bordo, stime di Hölder per le derivate prime

4. Soluzioni classiche: l'approccio di Schauder

Stime interne di Schauder, stime al bordo e globali, il problema di Dirichlet, regolarità interna e al bordo

"Elliptic Partial Differential Equations of Second Order", David Gilbarg e Neil S. Trudinger, Classics in Mathematics,volume 224, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, seconda edizione, 2001

"Elliptic Partial Differential Equations: Second Edition", Qing Han e Fanghua Lin, Courant Lecture Notes, volume 1, AMS American Mathematical Society, seconda edizione, 2011

"Partial Differential Equations: Second Edition", Lawrence C. Evans, Graduate Studies in Mathematics, volume 19, AMS American Mathematical Society, 2010

VARIETÀ ALGEBRICHE IN SPAZI AFFINI E PROIETTIVI, APPLICAZIONI RAZIONALI E REGOLARI.
GEOMETRIA LOCALE, NORMALIZZAZIONE. DIVISORI, SISTEMI LINEARI E MORFISMI DI VARIETÀ PROIETTIVE.

I. SHAFAREVICH BASIC ALGEBRAIC GEOMETRY VOL. 1 SPRINGER-VERLAG, NEW YORK-HEIDELBERG, 1977.
J. HARRIS ALGEBRAIC GEOMETRY (A FIRST COURSE) GRADUATE TEXTS IN MATH. NO. 133. SPRINGER-VERLAG, NEW YORK-HEIDELBERG, 1977.
R. HARTSHORNE ALGEBRAIC GEOMETRY GRADUATE TEXTS IN MATH. NO. 52. SPRINGER-VERLAG, NEW YORK-HEIDELBERG, 1977.

USO DI PROGRAMMI DIDATTICI NELL'INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA: I SOFTWARE CABRI, GEOGEBRA E MATHEMATICA.
COMANDI PER IL CALCOLO SIMBOLICO E NUMERICO, LA VISUALIZZAZIONE DI GRAFICI, CURVE E SUPERFICI E LA LORO ANIMAZIONE AL VARIARE DI PARAMETRI.
ESEMPI DI PROBLEMI: PROPRIETÀ DEI TRIANGOLI NELLA GEOMETRIA EUCLIDEA ED ESEMPI DI GEOMETRIE NON EUCLIDEE, APPROSSIMAZIONE DI PI GRECO E DI ALTRI NUMERI IRRAZIONALI, SOLUZIONI DI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI, SOLUZIONI DI SISTEMI, DETERMINAZIONE E VISUALIZZAZIONE DI PARTICOLARI LUOGHI GEOMETRICI, DERIVATA DI UNA FUNZIONE, CALCOLO APPROSSIMATO DI AREE.

DISPENSE DEL DOCENTE SU UN ELENCO DI PROBLEMI DA VISUALIZZARE E RISOLVERE (SIMULANDO UN LABORATORIO SCOLASTICO) CON L'AIUTO DEL SOFTWARE MATHEMATICA.
PER APPROFONDIMENTI SULLA VISUALIZZAZIONE CON MATHEMATICA DI CURVE E SUPERFICI:
RENZO CADDEO, ALFRED GRAY LEZIONI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE - CURVE E SUPERFICI VOL. 1,
ED. CUEC (COOPERATIVA UNIVERSITARIA EDITRICE CAGLIARITANA)

• DIMOSTRABILITÀ E SODDISFACIBILITÀ, TRASFORMAZIONE DELLE DIMOSTRAZIONI.
• TEOREMA DI COMPATTEZZA DELLA LOGICA DEL PRIMO ORDINE.
• TEOREMA DI COMPLETEZZA DELLA LOGICA DEL PRIMO ORDINE.
• TEOREMA DI ELIMINAZIONE DEL TAGLIO PER LA LOGICA DEL PRIMO ORDINE.

V. Michele Abrusci, Lorenzo Tortora de Falco: LOGICA Volume 1 Dimostrazioni e modelli al primo ordine. Springer, 2014

• DIMOSTRABILITÀ E SODDISFACIBILITÀ, TRASFORMAZIONE DELLE DIMOSTRAZIONI.
• TEOREMA DI COMPATTEZZA DELLA LOGICA DEL PRIMO ORDINE.
• TEOREMA DI COMPLETEZZA DELLA LOGICA DEL PRIMO ORDINE.
• TEOREMA DI ELIMINAZIONE DEL TAGLIO PER LA LOGICA DEL PRIMO ORDINE.

V. Michele Abrusci, Lorenzo Tortora de Falco: LOGICA Volume 1 Dimostrazioni e modelli al primo ordine. Springer, 2014

METODI DIRETTI PER SISTEMI LINEARI: IL METODO DI GAUSS, LE FATTORIZZAZIONI LU, DI CHOLESKY E QR. METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI. METODI ITERATIVI PER EQUAZIONI SCALARI: METODI DI BISEZIONE, DI SOSTITUZIONI SUCCESSIVE, DI NEWTON E DERIVATI. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI: INTERPOLAZIONE POLINOMIALE DI LAGRANGE E NEWTON, SEMPLICE E COMPOSITA. POLINOMIO DI HERMITE. APPROSSIMAZIONE DI ERRORE QUADRATICO MINIMO. TEORIA GENERALE DELLE FORMULE DI QUADRATURA INTERPOLATORIE. QUADRATURE DI NEWTON-COTES SEMPLICI E COMPOSITE. QUADRATURE GAUSSIANE.

[1] ALFIO QUARTERONI, RICCARDO SACCO, FAUSTO SALERI, MATEMATICA NUMERICA, SPRINGER, 1998;
[2] VALERIANO COMINCIOLI, ANALISI NUMERICA: METODI, MODELLI, APPLICAZIONI, APOGEO, 2005;
[3] ROBERTO FERRETTI, APPUNTI DEL CORSO DI ANALISI NUMERICA;
[5] ROBERTO FERRETTI, ESERCIZI D'ESAME DI ANALISI NUMERICA.

ELEMENTI DI TEORIA DELLA MISURA. SPAZI DI PROBABILITÀ ASTRATTI. LEMMI DI BOREL-CANTELLI. VARIABILI ALEATORIE CONTINUE: LEGGI CONGIUNTE E MARGINALI, INDIPENDENZA, LEGGI CONDIZIONALI. MEDIA E MEDIA CONDIZIONALE. MOMENTI, VARIANZA E COVARIANZA. DISUGUAGLIANZE. CONVERGENZA QUASI CERTA E IN PROBABILITÀ. LEGGI DEI GRANDI NUMERI. CONVERGENZA IN DISTRIBUZIONE. FUNZIONI CARATTERISTICHE E TEOREMA DI LÉVY. TEOREMA LIMITE CENTRALE. MARTINGALE. PROCESSI DI RAMIFICAZIONE

1] D.WILLIAMS, PROBABILITY WITH MARTINGALES. CAMBRIDGE MATHEMATICAL TEXTBOOKS, (1991).

MECCANICA LAGRANGIANA E SISTEMI VINCOLATI. VARIABILI CICLICHE. COSTANTI DEL MOTO E SIMMETRIE. SISTEMI DI OSCILLATORI LINEARI E PICCOLE OSCILLAZIONI. MECCANICA HAMILTONIANA. FLUSSI HAMILTONIANI. TEOREMA DI LIOUVILLE E DEL RITORNO. TRASFORMAZIONI CANONICHE. FUNZIONI GENERATRICI. METODO DI HAMILTON-JACOBI E VARIABILI AZIONE-ANGOLO. INTRODUZIONE ALLA TEORIA DELLE PERTURBAZIONI.

1] G. GENTILE,INTRODUZIONE AI SISTEMI DINAMICI. 1.EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE, ANALISI QUALITATIVA E ALCUNE APPLICAZIONI.
DISPONIBILE IN RETE:HTTP://WWW.MAT.UNIROMA3.IT/USERS/GENTILE/2011/TESTO/TESTO.HTML.
2] G. GENTILE,INTRODUZIONE AI SISTEMI DINAMICI. 2.FORMALISMO LAGRANGIANO E HAMILTONIANO.DISPONIBILE IN RETE:HTTP://WWW.MAT.UNIROMA3.IT/USERS/GENTILE/2011/TESTO/TESTO.HTML.
3] G. DELL'ANTONIO, ELEMENTI DI MECCANICA. LIGUORI EDITORE, (1996).
4] V.I. ARNOLD, METODI MATEMATICI DELLA MECCANICA CLASSICA. EDITORI RIUNITI, (1979).
5] G. GALLAVOTTI, MECCANICA ELEMENTARE. BOLLATI-BORINGHIERI, (1980).

-- TEORIA DELLA CARDINALITÀ. ALCUNI PARADOSSI CLASSICI. INSIEMI NUMERABILI. INSIEMI INFINITI NON NUMERABILI. TEOREMI DI CANTOR. TEOREMA DI CANTOR-BERNSTEIN.
-- ANELLI BOOLEANI. ALGEBRE DI BOOLE, CAMPI DI INSIEMI, SPAZI BOOLEANI E RETICOLI. TEOREMI DI RAPPRESENTAZIONE. APPLICAZIONI ALLA LOGICA SIMBOLICA ED AI CIRCUITI ELETTRICI
-- TEORIA DELLA DIVISIBILITÀ IN DOMINI (ANELLI COMMUTATIVI UNITARI, PRIVI DI DIVISORI DELLO ZERO). FATTORIZZAZIONI DI ELEMENTI, ESISTENZA DI MCD, MCM, DOMINI DI BÉZOUT. FATTORIZZAZIONI DI IDEALI. DOMINI DI NUMERI ALGEBRICI.
-- NUMERI DI FIBONACCI. PRINCIPALI PROPRIETÀ. IL RAPPORTO FN / FN-1, OSSIA TRA UN TERMINE E IL SUO PRECEDENTE NELLA SUCCESSIONE DEI NUMERI DI FIBONACCI, AL TENDERE DI N ALL'INFINITO TENDE AL NUMERO ALGEBRICO AUREO. RELAZIONI CON IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA ED I COEFFICIENTI BINOMIALI. RELAZIONI CON IL MASSIMO COMUN DIVISORE E LA DIVISIBILITÀ.
-- TERNE PITAGORICHE. TERNE PITAGORICHE PRIMITIVE E TEOREMA DI CLASSIFICAZIONE. PROPRIETÀ GEOMETRICHE ED ARITMETICHE.

-- STEVEN GIVANT - PAUL HALMOS, INTRODUCTION TO BOOLEAN ALGEBRAS. UNDERGRADUATE TEXTS IN MATHEMATICS.SPRINGER, NEW YORK, 2009. XIV+574.

-- PAUL R. HALMOS, LECTURES ON BOOLEAN ALGEBRAS. VAN NOSTRAND MATHEMATICAL STUDIES, NO. 1, D. VAN NOSTRAND CO., INC., PRINCETON, N.J. 1963 V+147 PP.

-- IRA J. PAPICK, ALGEBRA CONNECTIONS: MATHEMATICS FOR MIDDLE SCHOOL TEACHERS, PRENTICE HALL, 2005

-- HANS RADEMACHER, HIGHER MATHEMATICS FROM AN ELEMENTARY POINT OF VIEW. EDITED BY D. GOLDFELD. WITH NOTES BY G. CRANE. BIRKHÄUSER, BOSTON, MASS., 1983 II+138 PP.

-- DAVID SHARPE, RINGS AND FACTORIZATION. CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, CAMBRIDGE, 1987. X+111 PP.

-- J. ELDON WHITESITT, BOOLEAN ALGEBRA AND IST APPLICATIONS, DOVER PUBLICATIONS INC., NEW YORK, 1995 (PREVIOUSLY PUBLISHED BY ADDISON-WESLEY, READING MA, 1961)

Variabili casuali (cenni), Teoria della Stima, Test delle ipotesi (impostazione classica e bayesiana), Test basati sul rapporto di verosimiglianza, Campionamento statistico

Statistical Inference, Casella G., Berger R. L., Duxbury Advanced Series, Second Edition

MECCANICA QUANTISTICA: CRISI DELLA FISICA CLASSICA. ONDE E PARTICELLE. VETTORI DI STATO ED OPERATORI. MISURE ED OSSERVABILI. OPERATORE DI POSIZIONE. TRASLAZIONI E IMPULSO. EVOLUZIONE TEMPORALE ED EQUAZIONE DI SCHRODINGER. PARITA'. PROBLEMI UNIDIMENSIONALI. OSCILLATORE ARMONICO. SIMMETRIE E LEGGI DI CONSERVAZIONE. TEORIA DELLE PERTURBAZIONI INDIPENDENTI DAL TEMPO. TEORIA DELLE PERTURBAZIONI DIPENDENTI DAL TEMPO.

J.J. SAKURAI, JIM NAPOLITANO - MECCANICA QUANTISTICA MODERNA - SECONDA EDIZIONE [ZANICHELLI, BOLOGNA, 2014]

Moduli e Algebre; Anelli e Moduli di Frazioni; Dipendenza Integrale; Anelli noetheriani e artiniani; Domini di valutazione discreta e domini di Dedekind.

1. M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.
2. I. Kaplanski, Commutative Rings, The University of Chicago Press, 1974.
3. R. Y. Sharp, Steps in Commutative Algebra, London Mathematical Society Student Texts, 51, Cambridge University Press, 2000.

1. Equazione di Laplace

Disuguaglianze di valor medio, principio del massimo e minimo, la disuguaglianza di Harnack, la rappresentazione di Green, l'integrale di Poisson, teoremi di convergenza, stime interne sulle derivate, il problema di Dirichlet e il metodo delle funzioni sub-armoniche

2. Il principio del massimo classico

Principio del massimo debole, principio del massimo forte, stime a-priori, proprietà di simmetria e il metodo dello spostamento degli iper-piani

3. L'equazione di Poisson e il potenziale Newtoniano

Continuità Hölderiana, il problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson, stime di Hölder per le derivate seconde, stime al bordo, stime di Hölder per le derivate prime

4. Soluzioni classiche: l'approccio di Schauder

Stime interne di Schauder, stime al bordo e globali, il problema di Dirichlet, regolarità interna e al bordo

"Elliptic Partial Differential Equations of Second Order", David Gilbarg e Neil S. Trudinger, Classics in Mathematics,volume 224, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, seconda edizione, 2001

"Elliptic Partial Differential Equations: Second Edition", Qing Han e Fanghua Lin, Courant Lecture Notes, volume 1, AMS American Mathematical Society, seconda edizione, 2011

"Partial Differential Equations: Second Edition", Lawrence C. Evans, Graduate Studies in Mathematics, volume 19, AMS American Mathematical Society, 2010

METODI DIRETTI PER SISTEMI LINEARI: IL METODO DI GAUSS, LE FATTORIZZAZIONI LU, DI CHOLESKY E QR. METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI. METODI ITERATIVI PER EQUAZIONI SCALARI: METODI DI BISEZIONE, DI SOSTITUZIONI SUCCESSIVE, DI NEWTON E DERIVATI. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI: INTERPOLAZIONE POLINOMIALE DI LAGRANGE E NEWTON, SEMPLICE E COMPOSITA. POLINOMIO DI HERMITE. APPROSSIMAZIONE DI ERRORE QUADRATICO MINIMO. TEORIA GENERALE DELLE FORMULE DI QUADRATURA INTERPOLATORIE. QUADRATURE DI NEWTON-COTES SEMPLICI E COMPOSITE. QUADRATURE GAUSSIANE.

[1] ALFIO QUARTERONI, RICCARDO SACCO, FAUSTO SALERI, MATEMATICA NUMERICA, SPRINGER, 1998;
[2] VALERIANO COMINCIOLI, ANALISI NUMERICA: METODI, MODELLI, APPLICAZIONI, APOGEO, 2005;
[3] ROBERTO FERRETTI, APPUNTI DEL CORSO DI ANALISI NUMERICA;
[5] ROBERTO FERRETTI, ESERCIZI D'ESAME DI ANALISI NUMERICA.

Teoria classica delle varietà algebriche in spazi affini e proiettivi su campi algebricamente chiusi. Geometria locale, normalizzazione. Divisori, sistemi lineari e morfismi di varietà proiettive.

I. SHAFAREVICH BASIC ALGEBRAIC GEOMETRY VOL. 1 SPRINGER-VERLAG, NEW YORK-HEIDELBERG, 1977.
J. HARRIS ALGEBRAIC GEOMETRY (A FIRST COURSE) GRADUATE TEXTS IN MATH. NO. 133. SPRINGER-VERLAG, NEW YORK-HEIDELBERG, 1977.
R. HARTSHORNE ALGEBRAIC GEOMETRY GRADUATE TEXTS IN MATH. NO. 52. SPRINGER-VERLAG, NEW YORK-HEIDELBERG, 1977.

SPAZI MISURA E MISURE. L’INTEGRALE DI LEBESGUE E I TEOREMI DI CONVERGENZA. GLI SPAZI L^PIL TEOREMA DI RICOPRIMENTO DI BESICOVICH E LA DIFFERENZIAZIONE DELLE MISURE.

RUDIN, W.: ANALISI REALE E COMPLESSA, MILANO 1991
ROYDEN, REAL ANALYSIS, CHINA MACHINE PRESS, 2004.

CLASSIFICAZIONE DELLE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI SEMILINEARI E LORO FORMA CANONICA. STUDIO DI PROBLEMI CONCRETI RELATIVI ALL'EQUAZIONE DELLE ONDE, DEL CALORE E DI LAPLACE.

A.N.TICHONOV; A.A.SAMARSKIJ: EQUAZIONI DELLA FISICA MATEMATICA EDIZIONI MIR. ZAEMANOGLOU THOE : INTRODUCTION TO PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH APPLICATIONS. DOVER

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE E SISTEMI: METODI AD UN PASSO E A PIU' PASSI PER IL PROBLEMA DI CAUCHY, IN PARTICOLARE METODI DI RUNGE-KUTTA, METODI DI ADAMS, METODI BDF. APPLICAZIONI.
TEORIA GENERALE DEI METODI PER EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI. PRINCIPALI METODI ALLE DIFFERENZE E VARIAZIONALI PER EQUAZIONI ELLITTICHE, PARABOLICHE ED IPERBOLICHE LINEARI.

[1] ALFIO QUARTERONI, RICCARDO SACCO, FAUSTO SALERI, MATEMATICA NUMERICA, SPRINGER, 1998;
[2] VALERIANO COMINCIOLI, ANALISI NUMERICA: METODI, MODELLI, APPLICAZIONI, APOGEO, 2005;
[3] ROBERTO FERRETTI, APPUNTI DEL CORSO DI ANALISI NUMERICA;
[5] ROBERTO FERRETTI, ESERCIZI D'ESAME DI ANALISI NUMERICA.

SARANNO SVILUPPATI E ANALIZZATI MODELLI MATEMATICI DI PROBLEMI APPLICATIVI, ANCHE DI INTERESSE INDUSTRIALE, BASATI SOPRATTUTTO SU EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE O ALLE DERIVATE PARZIALI.
IL CORSO HA UNA COMPONENTE MODELLISTICA ED UNA NUMERICA. E SARÀ ORGANIZZATO, ALMENO IN PARTE, "PER PROBLEMI" PIUTTOSTO CHE "PER METODI", OSSIA PARTENDO DA UN CERTO NUMERO DI PROBLEMI APPLICATIVI E CERCANDONE LA SOLUZIONE, INTRODUCENDO VIA VIA GLI STRUMENTI NECESSARI, QUALI I METODI NUMERICI PIÙ OPPORTUNI.
SARANNO INVITATI A TENERE CONFERENZE SU ARGOMENTI SPECIFICI DEI MATEMATICI APPLICATI OPERANTI IN ALTRE SEDI UNIVERSITARIE O IN LABORATORI DI RICERCA , ATTIVI NEL CAMPO DELLA MATEMATICA APPLICATA E/O INDUSTRIALE.

1] R. KNOBEL, ''AN INTRODUCTION TO THE MATHEMATICAL THEORY OF WAVES'', AMER. MATH. SOC., PROVIDENCE, 2000.

2] K.W. MORTON AND D.F. MAYERS, ''NUMERICAL SOLUTION OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS'', CAMBRIDGE UNIV. PRESS, CAMBRIDGE, 2005.

3] APPUNTI E MATERIALE DALLE LEZIONI.

COMPLESSITÀ, COMPUTABILITÀ, RAPPRESENTABILITÀ: PROBLEMI DI DECISIONE, AUTOMI FINITI E ALGORITMI. TURING-CALCOLABILITÀ. COMPLESSITÀ SPAZIALE E TEMPORALE DEGLI ALGORITMI. MACCHINE RAM. FUNZIONI DI COMPLESSITÀ. FUNZIONI RICORSIVE. IL PROBLEMA DELL'ARRESTO PER LE MACCHINE DI TURING. PROGRAMMAZIONE FUNZIONALE: LAMBDA CALCOLO. TEOREMA DI CHURCH-ROSSER. STRATEGIE DI NORMALIZZAZIONE. RISOLUBILITÀ. TEOREMA DI BÖHM. TEOREMA DI LAMBDA-DEFINIBILITÀ PER LE FUNZIONI RICORSIVE. MODELLI BETA-FUNZIONALI DEL LAMBDA-CALCOLO. PROGRAMMAZIONE OBJECT-ORIENTED: DICHIARAZIONI DI CLASSI FUNZIONALI. EREDITARIETÀ TRA CLASSI. DICHIARAZIONE DI CLASSI VIRTUALI. DEFINIZIONE DI METODI PRIVATI. LATE-BINDING DI METODI.

[1] DEHORNOY, P., COMPLEXITE' ET DECIDABILITE'. SPRINGER-VERLAG, (1993).
[2] KRIVINE, J.-L., LAMBDA CALCULUS: TYPES AND MODELS. ‪ELLIS HORWOOD, (1993).
[3] SIPSER,M., INTRODUCTION TO THE THEORY OF COMPUTATION.THOMSON COURSE TECHNOLOGY, (2006).
[4] GABBRIELLI, M., MARTINI, S., LINGUAGGI DI PROGRAMMAZIONE: PRINCIPI E PARADIGMI. MCGRAW-HILL, (2011).

TESTI DI APPROFONDIMENTO:

[4] AHO, HOPCROFT, ULLMAN, DESIGN AND ANALYSIS OF COMPUTER ALGORITHMS. ADDISON-WESLEY PUB. CO., (1974).
[5] AUSIELLO, G., GAMBOSI, G., D'AMORE F., LINGUAGGI, MODELLI, COMPLESSITA'. FRANCO ANGELI (2003).
[6] A. BERNASCONI, B. CODENOTTI, INTRODUZIONE ALLA COMPLESSITA' COMPUTAZIONALE. SPRINGER-VERLAG, (1998).
[7] SETHI, R., PROGRAMMING LANGUAGES: CONCEPTS AND CONSTRUCTS. ADDISON-WESLEY (ED. ITALIANA ZANICHELLI), (1996).
[8] HERMES, H., ENUMERABILITY, DECIDABILITY, COMPUTABILITY. DIE GRUNDLEHREN DER MATHEMATICHENWISSENSHAFTEN IN EINZELDARSTELLUNGEN, N. 127, SPRINGER-VERLAG, (1969).
[9] DARNELL, P. A. AND MARGOLIS, P. E., C A SOFTWARE ENGINEREEING APPROACH. SPRINGER-VERLAG, (1996).

Divisione, fattorizzazione, alcune proprietà elementari dei numeri primi, alcuni risultati e problemi riguardanti i primi.
Funzioni aritmetiche: La funzione numero di divisori. La funzione di Moebius. La funzione di Eulero. La convoluzione Dirichlet.
Congruenze: Sistemi Completi di residui, alcuni Congruenze interessanti, alcune congruenze lineari, congruenze polinomiali, radici primitive, il teorema di Gauss.
RESIDUI Quadratici: i simboli di Legendre. Reciprocità quadratica. I simboli di Jacobi.La distribuzione dei residui quadratici.
Somme di quadrati di interi: somme di due quadrati. Numero di rappresentazioni. Somme di quattro quadrati. Somme di tre quadrati.
TEORIA ELEMENTARE DEI NUMERI PRIMI: il teorema di Euclide rivisitato. La funzione Von Mangoldt. Teorema di Tchebycheff. Alcuni risultati di Mertens

Chen, W; ELEMENTARY NUMBER THEORY. https://rutherglen.science.mq.edu.au/wchen/lnentfolder/lnent.html
Chowdhury, F.; Chowdhury, M. R. Essentials of Number Theory. Pi Publications, Dhaka, Bangladesh, 2005. ISBN 984-32-2836-7
Hardy, G. H.; Wright, E. M. An introduction to the theory of numbers. Fifth edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979. xvi+426 pp. ISBN: 0-19-853170-2; 0-19-853171-0
Davenport, H. Aritmetica superiore. Un'introduzione alla teoria dei numeri. Editore: Zanichelli, 1994. 199 pp. ISBN: 8808091546
Gioia, A. A. The theory of numbers. An introduction. Reprint of the 1970 original. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2001. xii+207 pp. ISBN: 0-486-41449-3
Rosen, K. H. Elementary number theory and its applications. Fourth edition. Addison-Wesley, Reading, MA, 2000. xviii+638 pp. ISBN: 0-201-87073-8
Tattersall, J. J. Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, Cambridge, 1999. viii+407 pp. ISBN: 0-521-58531-7

Il concetto di operazione bit tipo somma o sottrazione. Stima del
numero di operazioni bit (tempo macchina) per eseguire le
operazioni fondamentali. Algoritmi che convergono in tempo
esponenziale o polinomiale. Divisibilità. Algoritmo di Euclide,
identità di Bezout e suo tempo di esecuzione. Congruenze.
Teorema cinese dei resti. L'algoritmo dei quadrati successivi.

RSA
L'algoritmo di Adleman, Shamir e Rivest. Formulazione dell'algoritmo
e sua analisi. Attacchi al crittosistema RSA (esponenti di
cifratura e decifratura troppo piccoli, attacco ciclico, attacco del
punto fisso, modulo comune). Richiami sulle congruenze quadratiche e
i simboli di Legendre e Jacobi. Algoritmo polinomiale per il calcolo
del simbolo di Jacobi. Crittosistema di Rabin: descrizione,
sicurezza ed esempi. Distribuzione di Numeri primi. Test di
primalità basati sulla condizione di Fermat. Test di Pocklington.
Pseudo-primalità di Eulero e pseudo-primalità forte. Numeri di
Carmichael: caratterizzazione e prime proprietà. Algoritmi
Montecarlo. Test di Solovay-Strassen. Numeri pseudo--primi forti.
Test di Miller-Rabin. Fattorizzazione di un intero: metodo $\rho$ di
Pollard, metodo p-1 di Pollard, fattorizzazione alla Fermat.

CAMPI FINITI
Fondamenti di teoria dei campi. Costruzione di un campo finito e
sua unicità. Esempi. Polinomi irriducibili e primitivi.
Enumerazione dei polinomi irriducibili e primitivi. Aritmetica in
tempo polinomiale sui campi finiti. Test deterministici di
irriducibilità dei polinomi nei campi finiti. Algoritmo di
Berlekamp per la fattorizzazione di polinomi in un campo finito.

LOGARITMI DISCRETI
Il problema del logaritmo discreto in un gruppo ciclico astratto.
Problema di Diffie Hellman. Scambio di chiavi di Diffie Hellman
sui campi finiti. Crittosistemi di El Gamal e Massey Omura sui
campi finiti. Algoritmi per il calcolo dei logaritmi discreti nei
campi finiti: l' Algoritmo di Shanks, l'Algoritmo di Pohlig -
Hellman ed il Metodo del Calcolo dell'Indice. Schemi di firma
digitale: El-Gamal. Esempi.

A. Languasco - A. Zaccagnini, Introduzione alla crittografia, Hoepli.

W.M. Baldoni -C. Ciliberto - G.M. Piacentini, Aritmetica, crittografia e codici, Springer Verlag.

N. Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography, GTM-Springer.

HANDBOOK OF APPLIED CRYPTOGRAPHY (Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot and Scott A. Vanstone)

TEORIA DEI FASCI ALGEBRICI. TEORIA DEGLI SCHEMI ALGEBRICI. COOMOLOGIA DI CECH. TEORIA DEI MODULI. APPLICAZIONI.

R. HARTSHORNE ALGEBRAIC GEOMETRY GRADUATE TEXTS IN MATH. NO. 52. SPRINGER-VERLAG, NEW YORK-HEIDELBERG, 1977.